Year:2018   Issue: 23   Area: Mathematics  

Muzaffer AKSOY
PRIME NUMBERS UNDER THE LIGHT OF PROVED GOLDBACH CONJECTURES
 
Giriş: Goldbach Hipotezlerinin ispatlanmasıyla, asal sayılar kümesinde, sistematik bir yaklaşımla asal sayı üretmek üzere ardışık bir bağlantı geliştirildi. Bu çabalar asal sayıların rastgele dizilmediğini, düzenli bir kural içinde dizildiğini gösterdi. Bir sınır verildiğinde, bu sınırın altında kalan tüm asal sayıların, mevcut bilgisayarın performansına bağlı bir hızla belirlenebileceği gösterildi. Asal olabileceği öngörülen sayının bu kurallar çerçevesinde test edilmesiyle, gerçekten asal olup olmadığı, değilse en azından iki bileşeni belirlendi. Bu bilgisayar programı ve ispatların ışığında asal sayılar üzerinde yapılan varsayımlar yeniden değerlendirildi, sonuçlar paylaşıldı. Amaç: Bu çalışmanın amacı, yüzyıllardır ispatlanamayan Goldbach Hipotezlerinin ispatlanmasının getirdiği bulgularla, sayı teorisinde asal sayılarla ilgili yanıtlanamayan bazı kestirimlere yanıt aramak ve Aksoy Teoreminden faydalanarak büyük asal sayılar üretmek üzere bir formül geliştirmektir. Kapsam: Araştırmaya başlarken öncelikle asal sayı belirleyen bilgisayar programı ispatların ışığında geliştirildi, daha da etkin hale getirildi. Asal sayılar üzerinde yapılan araştırma ve kestirimler yeniden gözden geçirilerek belirlenen beş adet hipoteze yanıt arandı. İlk hipotez, büyük asal sayı üretmek üzere Aksoy Teoremi ’ne dayanılarak bir formül geliştirilebilir varsayımıdır. İkinci hipotez, tanıtılan bilgisayar programına temel oluşturan bir MUZ periyodunda en az bir asal sayı olduğu öngörüsüdür. Ele alınan üçüncü hipotez, ikiz asallar ve kuzen asalların sonsuz sayıda olduğunu öne süren Polignac Kestiriminin doğru olduğu öngörüsüdür. Dördüncüsü Legendre Kestiriminin doğru olduğu, beşincisi de n2 + 1 biçiminde sonsuz sayıda asal sayı olduğu varsayımının doğru olduğudur. Araştırmanın Yöntemi: Asal sayılar üzerinde yapılmış çalışmalar ayrıntısıyla incelendi. Bu çalışmada beş adet hipoteze yanıt arandı. Euclid ‘in İkinci Teoremi asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu belirtir ve ispatı vardır. Ayrıca, Goldbach Hipotezlerinin ispatında, asal sayıların tip1 ve tip2 biçiminde ve sonsuz sayıda olabileceği belirtiliyor. Bu tespitlerden hareketle ispatların temelini oluşturan tip1= (6k+1) ve tip2= (6k+5) aday asal sayı alt gruplarının tek veya birlikte ele alınmasının bilgisayar programını hızlandırabileceği değerlendirildi. Bilgisayar programında tanıtılan küçük çarpanın tip1 veya tip2 den hangi biçiminde olacağı, araştırılan MUZ setine uygun olarak verilen aday asal sayının hangi biçimde olduğuna bağlıdır; zira, küçük çarpan ilk olmak üzere, verilen sayı tip1 biçimindeyse iki bileşeni (tip1) (tip1), verilen sayı tip2 biçimindeyse iki bileşeni (tip1) (tip2) veya (tip2) (tip1) sırasıyla olmalıdır. Bu gerçeklerden hareketle bilgisayar programı iyileştirildi. Kriptolojide çok önemli olan büyük asal sayıların belirlenmesi ve test edilmesi kolaylaştırıldı, büyük asal sayılara ulaşmak için sistematik bir yaklaşım getirildi, etkinliği test edildi, sonuçlar paylaşıldı. Daha da büyük asal sayılara ulaşmak eldeki bilgisayarın kapasitesine ve hızına bağlıdır Araştırmanın amacına uygun olarak belirlenen hipotezler tanıtıldı, cevapları araştırıldı. Polignac Hipotezi doğrulandı, ikiz ve kuzen asal sayıların teorik olarak sonsuz sayıda olduğu ispatlandı. Legendre Hipotezinin doğru olduğu ispat edildi. Bulgular. Goldbach Hipotezlerinin ispatlanması, asal sayılarla ilgili bazı kestirimleri yeniden gözden geçirmeyi kolaylaştırdı. Bunlardan ilki olan yeni Aksoy Asal Sayılar Teoreminin önemli bir uygulaması tanıtıldı. Büyük asal sayıları belirlemede yeni bir bağıntı geliştirildi. Büyük asal sayılar arasında öngörülenden daha büyük aralıklar olabileceği belirlendi. Polignac Hipotezi doğrulandı, ikiz veya kuzen asalların teorik olarak sonsuz olduğu bu çalışmada ispatlandı ancak, özellikle büyük olanlarını önceden belirlemek, bazı kestirimlere rağmen bugün için kolay değildir, daha fazla aydınlatıcı çalışmaya gereksinim vardır. Ardışık iki sayının kare değeri arasında en az bir asal sayı var olduğunu ileri süren Legendre Hipotezi ve n2 + 1 biçiminde sonsuz asal sayı olduğu kestirimi de ispat edilerek doğrulandı. Sonuçlar: Araştırmada, İntel® Core™ i5 2450 M CPU@ 2,5 GHz işlemcili bir bilgisayar kullanılarak, e kadar MUZ setine uygun her aday asal sayının gerçekten 10 13 asal olduğu, değilse iki çarpanı kısa sürede belirlendi. Daha büyük sayıları belirlemek eldeki bilgisayarın hızına ve gücüne bağlıdır. Asırlardır sayı teorisinde araştırmacıların önüne set geren varsayımlardan birisi olan Goldbach Hipotezlerinin ispatlanmasının ışığında, asal sayılarla ilgili bazı kestirimler de ispatlanarak, asal sayıları belirleme ve incelemenin yeni yolları araştırmacılara olabildiğince açıldı. Goldbach Hipotezlerinin İspatları sonucunda belirlenen ve ispatı verilen Aksoy Teoreminden hareketle, büyük asal sayıları belirlemede etkin bir formül geliştirildi, işleyişi gösterildi. Bu formüller ispatı verilen teoreme dayandığından temeli sağlamdır, bir varsayım değildir. Geliştirilen formüllerle üretilen aday asal sayıların 64% oranda asal sayı olduğu örneklerle gösterildi. İkiz ve kuzen asalların tanımı ve konumu ispatların ışığında yeni bakış açısıyla incelendi, bunların sonsuz sayıda olduğu ispatlandı ancak önceden yerlerinin tespitinin güçlüğü paylaşıldı. Asal sayılarla ilgilenenleri meraklandıran varsayımlardan Polignac Kestirimi ve Legendre Kestirimi ispatlanarak doğrulandı. Benzer biçimde, n2 + 1 biçiminde sonsuz sayıda asal sayı olabileceği ispatlandı. Kriptolojide büyük asal sayıları belirlemenin önemli olduğu bilinir. Belirlenen formüllerle hesaplanan asal sayı adaylarının 64% oranında asal sayı olduğu gösterildi. Lucas -Lehmer Testine rağmen, bir tek büyük asal sayı belirlemek için, yüzlerce bilgisayarcıdan oluşan ortak çalışma grubunun bir aydan fazla süre uğraştığı düşünülürse işin ne kadar çetin olduğu, bu konuda yapılan aydınlatıcı çalışmaların önemi daha iyi anlaşılabilir. Asal sayıların tip1 ve tip2 biçiminde sonsuz sayıda olması ve bunların kendinden büyük bileşenlileri ve asal sayıları belirlemedeki rolü, ileri incelemelere yol gösterici olarak ışıldamaktadır. Büyük asal sayılara ulaşmanın yolu açıldı, şifreleme işlemlerinin yeniden tasarlanacağı öngörülmektedir.

Keywords: Goldbach Conjecture, Prime Numbers, Cryptology, Aksoy Theorem, Twin Primes

Doi: 10.17368/UHBAB.2018.1.1

GOLDBACH HİPOTEZLERİNİN İSPATI IŞIĞINDA ASAL SAYILARA YENİ BİR BAKIŞ
 
Aim: The purpose of this research is to determine the major prime numbers by taking advantage of the relation between the prime numbers prescribed by Aksoy Prime Number Theorem. In addition, by using the proofs of Goldbach’s Conjectures, it is aimed to prove four hypotheses that had not been proved to date. Method: The first hypothesis that has been introduced, a formula could be developed with the help of Aksoy Theorem, and with this help it would be possible to obtain large prime numbers. The second hypothesis can be summarized by suggesting that the space between two consecutive prime numbers should not skip the basic MUZ set introduced in the computer program. The third hypothesis is Polignac’s Conjecture, which claims that twin and cousin prime numbers are infinite. Another hypothesis is Legendre’s Conjecture which claims to be at least one prime between the squares of two consecutive numbers. The last hypothesis in this study claims that there are infinite numbers in the form of (n^2+1) primes. Findings: An effective computer program and a formula to provide access to large prime numbers have been developed. It is understood that the second hypothesis is not true when a 60-point gap between consecutive prime numbers is found: there is no prime between prime numbers 299,999,999,971-300,000,000,031. It is proved that twin and cousin primes are infinite in this study, but it is difficult to determine them and especially the big ones. It is proved that there exists at least one prime number between the squares of two consecutive numbers. The last hypothesis is proved to be correct, there are infinite number of primes in given format. Conclusion: As a conclusion, albeit there are institutionalized methods on computing prime numbers, an efficient way of computing bigger prime numbers can be based on the formula by using Aksoy Prime Numbers, that the article has shed light on. Proofs presented will introduce new horizons to relevant academicians on number theory. Defining this new perspective might also help one to expand the scope of the study related to even if there is a pattern on prime numbers so that we can compute bigger numbers feasibly. Although it is easy to prove that twin and cousin prime numbers are infinite, it will not be easy to identify them. Legendre Conjecture is proved, there is at least one prime number between the squares of two consecutive numbers.

Anahtar Kelimeler: Goldbach Hipotezi, Asal Sayılar, Kriptoloji, Aksoy Teoremi, İkiz Asallar

Doi: 10.17368/UHBAB.2018.1.1

Tam Metin